方向导数的定义

方向导数（directional derivative）是多元微积分中的一个概念，用于描述一个函数在某一点沿特定方向的变化率。具体来说，对于二元或三元函数，方向导数表示函数在一点沿某一非零向量方向上的瞬时变化率。

定义

设函数为$f$，点为$P（x_0, y_0, z_0）$，非零向量为$\\vec{l}$，如果极限

$$

\\lim_{\\rho \\to 0^+} \\frac{f（P） - f（P_0）}{\\rho}

$$

存在，其中$\\rho$是点$P$到点$P_0$的距离，则称此极限为函数$f$在点$P_0$沿方向$\\vec{l}$的方向导数。

几何意义

方向导数给出了函数在某一点沿某个方向的变化速率，可以看作是沿着某个方向的切线变化率，而不仅仅是沿坐标轴的变化率。

注意事项

方向导数的存在并不保证其他方向的方向导数存在。

方向导数可以是沿直线方向或沿曲线方向。

在某些定义中，方向导数特指函数在某一点沿单位长度向量的方向导数。

计算

如果函数在某点可微，则方向导数可以通过梯度（gradient）来计算，即

$$

D_{\\vec{u}}f（P_0） = \\nabla f（P_0） \\cdot \\vec{u}

$$

其中，$\\nabla f（P_0）$是函数在点$P_0$的梯度，$\\vec{u}$是单位方向向量。

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